经验交流：关于离散数学的备考

离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。有不少院校将它列为计算机专业硕士研究生入学考试的备选科目。本文旨在将我们的一些复习经验总结出来，提供给选考离散数学的朋友们参考。本文的撰写主要针对跨专业和本科阶段离散数学基础不是很好的朋友，希望能有一定的帮助作用。
    第一个问题是：怎样的考生适合选考离散数学？
    离散数学的特点是知识点集中，抽象思维能力的要求较高。不管是哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。没有较好的抽象思维能力的人，很难往深处学下去。同时，离散数学的题目较为"呆板"，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化的来的。在我们收集到的各个院校的离散数学试题中，显得比较"异类"的仅有北大、复旦和中科院自动化所的。其中北大是难度大，复旦与自动化所是侧重点与众不同。其余院校则大同小异。因此，思维严谨、规范、逻辑性强（而不必要太活跃）的朋友可以考虑选考离散数学，而从应试的角度来说，记忆力好的朋友也可通过强记各种题型（甚至是大量典型题目的解法）来取得一个不错的分数。
    第二个问题是：选用什么书进行复习？
    首先各位考友应该与欲报考院校的研招办联系，弄清专业课指定教材，根据所获得的信息来买书。许多院校选用左孝凌老师的《离散数学》作为参考教材。报考这些院校的朋友应设法找到此书的配套辅导书《离散数学理论、分析、题解》。这本辅导书总体质量很好，即使作为一般学习用的习题集也是不错的。此外我们再把其它书籍的情况介绍一下。
    1、北大三本离散教材。这是我们目前所知难度最大，覆盖面最广的离散数学教材。考北大的朋友必备。其余的可以买来作为备用。平时不用专门看，一旦在其它书上遇到陌生的知识点，这些书就派上用场了。
    2、耿素云老师等编写的《离散数学习题集》。与左老师的书大多数题都是相同的，只是由于某些符号和定义的不同，使得题目的设定和解法有些不同而已。
    3、《全真题解（离散数学分册）》。我们自己编写的习题集，收集了大量近年来各院校的研究生入学考试试题，总结了多种题型并提出有针对性的解法，还有深入细致的分析与扩展。对于备考来说是很好的选择。
    4、"全美经典学习指导系列"中的《离散数学》、《2000离散数学习题精解》。这是今年（2002）刚刚出来的新书，国外的书（已翻译），科学出版社出版。是好书，不过不是很符合中国人的离散教学体系。作为提高用书还是不错的。
    5、《DISCRETE MATHEMATICAL STRUCTURES》，高等教育出版社出版的英文影印版教材，深入浅出，绝对好书，然而用于备考则显得针对性不强。使用它的好处是一举两得，同时可以锻炼英文能力。但需要在数学以及其它课程上花费较多时间的朋友慎用。
    另外再说一点，有些还在读大一大二的非计算机专业的朋友，想跨专业考计算机研究生并且打算学离散数学。这些朋友，如果暂时还没有选定要报考的院校，那么左孝凌老师的书是一本相当好的入门教材，可以先买来打打基础。
    接着就该开始复习了，整个过程可大致分为三个阶段。
    第一阶段，大量进行知识储备的阶段。
    离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。由于这些定义非常抽象，初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系。对于跨专业自学的朋友来说更是如此。这是离散数学学习中的第一个困难。因此，对于第一遍复习，我们提出一个最为重要的要求，即准确、全面、完整地记忆所有的定义和定理。具体做法可以是：在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记，直到能够全部正确地默写出来为止。无须强求一定要理解，记住并能准确复述各定义定理是此阶段的最高要求。也不需做太多的题（甚至不做课后习题也是可以的，把例题看懂就行），重心要放在对定义和定理的记忆上。请牢记，这是为未来的向广度和深度扩张作必要的准备。
    这一过程视各人情况不同耗时约在一到两个月内。
    第二阶段，深入学习，并大量做课后习题的阶段。
    这是最漫长的一个阶段，耗时也很难估计，一般来说，若能熟练解出某一章75%以上的课后习题，可以考虑结束该章。
    解离散数学的题，方法非常重要，如果拿到一道题，立即能够看出它所属的类型及关联的知识点，就不难选用正确的方法将其解决，反之则事倍功半。例如在命题逻辑部分，无非是这么几种题目：将自然语言表述的命题符号化，等价命题的相互转化（包括化为主合取范式与主析取范式），以给出的若干命题为前提进行推理和证明。相应的对策也马上就可以提出来。以推理题为例，主要是利用P、T规则，加上蕴涵和等价公式表，由给定的前提出发进行推演，或根据题目特点采用真值表法、CP规则和反证法。由此可见，在平常复习中，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和此类题目的解题套路。如此多作练习，则即使遇到比较陌生的题也可以较快地领悟其本质，从而轻松解出。
    "熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。"要是拿到一本习题集，从头到尾做过，甚至背会的话。那么，在考场上就会发现绝大多数题见过或似曾相识。这时，要取得较好的成绩也就不是太难的事情了。这一情况具有普遍性，对许多院校的考试都适用。
    第三阶段，进行真题模拟训练，提高整体水平和综合能力的阶段。
    这一阶段从第二阶段结束一直持续到考试。
    除了上面介绍的教材之外，应尽可能地弄到报考院校的专业课历年试题。因为每个单位对该科目的侧重点毕竟有不同，从历年试题中可以获取许多有用的信息。这些历年试题此时就有了巨大的作用。
    一般来说，数理逻辑会是整个试卷中较为简单的一个部分。但这并不意味着你就能轻易将所有或大部分分数收入囊中。它的陷阱主要在哪里呢？不是在试题本身，而是在复习中错误的指导思想上。这一部分的题目往往因其简单，"一看就懂"，而被轻视了。从而导致练习不足，做起题来似乎大错不会犯，但小毛病总是不断，难以做到百分之百正确。实际上，必须建立这样的认识，即：数理逻辑部分的试题一定要取得85%以上的分数。否则整个离散数学科目的分数将偏低，会置你于极为不利的境地。要时刻记住，这不是为期末考试做准备，60分就万事大吉了。这是在准备考研！每一分都是生死攸关的！因此要在做题时追求高准确度、高效率。
    集合论部分的难度也不大，等价关系（往往与等价类划分结合起来考）是该部分内容的重中之重，应予以特别关注。
    代数结构部分通常会有较难的题目出现，以区分中上水平的考生与高水平考生。但是，大家也不必发怵。应该看到，这些难题的难度并不是由于解题思路过于灵活，解题技巧过于复杂而造成的。恰恰相反，这些题目的解法常常是很规范的，总是依据一定的"套路"来解。只不过所涉及的知识点既多又陌生，才会觉得困难重重。对付这种题，只需做到两点：1、熟悉与题目相关的知识；2、掌握解题"套路".
    图论是离散数学考试的重点和难点。相比于离散数学的其它部分，图论的题目稍显灵活，且要求较高的空间思维和想象能力。但其解法依然有章可循。常用的方法有：反证法、数学归纳法、最长（最短）路径法等。除了注意这些常规的东西之外，还要留心自己报考的院校的出题习惯，以确定重点来强化训练。这是直接关系到复习质量的大事，不可轻视。
    考前一到两周时，还应再巩固一下对各知识点的记忆。对遗忘了的内容，要再次强记，确保考试时不致因此而丢失易得的分数。各种解题方法也要再熟悉一遍，可结合一两道典型例题来进行。
    离散数学的题目数量自然是无穷无尽的，但题目的种类却很有限。参加离散数学考试，好比参加一场比武。对手只有那么几十个招式。你只要在平时将这些招式一一拆解，比武时无疑稳操胜券。更何况，拆解招式的方法前人早已给出，你要做的仅仅是用心体会而已。理解了这一点，也就理解了整个离散数学的复习与备考。